Τι είναι το άπειρο στα μαθηματικά;
Μας είναι πολύ εύκολο να χαρακτηρίσουμε πεπερασμένους αριθμούς. Έννοιες όπως 3 μήλα, 5 καρέκλες, 30 βαθμοί Κελσίου κτλ. Μας έρχονται πολύ φυσικά λόγω καθημερινότητας και απλής διαίσθησης, που μας επιτρέπει να ξεχωρίζουμε οντότητες διαφορετικές σε μέγεθος μεταξύ τους. Όμως τι συμβαίνει όταν θέλουμε να μετρήσουμε κάτι υπερβολικά μεγάλο; Πώς προσεγγίζουμε κάτι όταν γνωρίζουμε πως με ό,τι αριθμό και αν το χαρακτηρίσουμε πάντα θα χρειαζόμαστε ένα μεγαλύτερο ο οποίος με την σειρά του δε θα είναι αρκετός;
Αντίθετα, με τους συνήθης αριθμούς δεν μπορούμε να δείξουμε το άπειρο, γι’αυτό και το προσεγγίζουμε μέσα απο μια οριακή διαδικασία: 1,2,3,4………..n,……….∞ . Παρατηρούμε πως το άπειρο ορίζεται σαν ένα όριο στο οποίο τείνουμε συνεχώς να φτάσουμε που όσο το πλησιάζουμε τόσο ”απομακρύνεται”.
Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη υπάρχουνε δύο είδη απείρων, το εν δυνάμει και το εν ενεργεία. Το εν δυνάμει άπειρον είναι μια διανοητική κατασκευή, χρήσιμο για την επίλυση ορισμένων μαθηματικών προβλημάτων. Το εν ενεργεία άπειρον είναι ένα άπειρο που υπάρχει πραγματικά. Κατα την διάρκεια του μεσαίωνα ο όρος του απείρου χρησιμοποιήθηκε ως επί των πλείστων για θεολογικές συζητήσεις απο φιλόσοφους όπως ο Spinoza, ο Descartes κ.α. Εκείνος όμως που προσδιόρισε με μαθηματική πληρότητα την έννοια και τις ιδιότητες του απείρου ήταν ο Georg Cantor(1845-1918).
Το άπειρο του Cantor
Ας θεωρήσουμε μία απεικόνιση ένα-προς-ένα και επί. Αυτήν είναι μία αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση(κάθε στοιχείο της πρώτης ομάδας αντιστοιχεί σε συγκεκριμένο στοιχείο της δεύτερης) και επίσης κανένα στοιχείο της δεύτερης ομάδας δεν μένει χωρίς αντιστοιχία απο την πρώτη. Μια τέτοια απεικόνιση είναι η 1↔2, 2↔4, 3↔6,……, n↔2n. Είναι δηλαδή μια ένα προς ένα απεικόνιση των ακεραίων με τους άρτιους. Με αυτόν τον τρόπο ο Cantor έδειξε οτι ο πληθάριθμος (πλήθος στοιχείων) των ακεραίων είναι ίδιος με αυτόν των άρτιων. Δηλαδή τα άπειρα τους είναι ισοπληθή. Διαισθητικά κάποιος θα περίμενε τον πληθάριθμο των ακεραίων διπλάσιο απο αυτόν των άρτιων, καθώς υπάρχουνε και οι περιττοί που μαζί με τους άρτιους συνιστούν τους ακέραιους. Βέβαια, κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει ,καθώς η άλγεβρα των υπερπεπερασμένων αριθμών διαφέρει ριζικά απο τη συνήθη άλγεβρα των πεπερασμένων.
Ο Cantor ονόμασε αυτή την νέα οντότητα του υπερπεπερασμένου αριθμού ℵ0 (aleph zero, άλεφ μηδέν). Όπως φαίνεται απο το προηγούμενο παράδειγμα, η συγκεκριμένη άλγεβρα δεν υπόκειται στην κλασσική συνήθη και έτσι ℵ0=ℵ0/2, ℵ0=ℵ0/3 ή γενικά ℵ0=ℵ0/k όπου k αυθαίρετος ακέραιος. Ακόμη ισχύει ℵ0=ℵ0+k , όπως φαίνεται στο παράδοξο του ξενοδοχείου του Hilbert.
Μεταξύ δύο ακέραιων αριθμών υπάρχει ένα άπειρο πλήθος ρητών. Άρα περιμένουμε, διαισθητικά και με τη λογική, τον πληθάριθμο των ρητών πολύ μεγαλύτερο απο αυτό των ακεραίων ή και των άρτιων. Ωστόσο ο Cantor, με μια περίτεχνη καταγραφή κατάφερε να δείξει την ισότητα μεταξύ αυτών των ποσοτήτων! Η καταγραφή ήταν σχηματικά η εξής:
Αν παραθέσουμε του ρητούς στη σειρά που υποδεικνύει το βέλος έχουμε: 1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4,……….Είναι εμφανές τώρα, οτι μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τους ρητούς με τους ακέραιους, λέγοντας οτι οι δύο ομάδες έχουνε τον ίδιο πληθάριθμο. Αναμέναμε πολλά περισσότερα κλάσματα απο ακεραίους, αλλά αυτή η σύγκριση έδειξε το αντίθετο. Επιπροσθέτως, συνάγουμε έναν άλλον κανόνα της υπερπεπερασμένης αριθμητικής, ( ℵ0 )2=ℵ0 ή γενικά ( ℵ0 )m=ℵ0.
Το άπειρο του απείρου
Μπορούμε να σκεφτούμε λοιπόν το ℵ0 ως το μικρότερο άπειρο γι’αυτό και χαρακτηρίζεται απο τον δείκτη μηδέν. Ο Cantor όμως δεν σταμάτησε εκεί. Με την βοήθεια της διαγώνιας μεθόδου του έδειξε πως το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο διάστημα [0,1] δεν είναι αριθμήσιμο. Κάθε αριθμός στο διάστημα αυτό γράφεται ως ένας δεκαδικός με άπειρη ακολουθία ψηφίων: Α=0.α1α2α3α4α5…..
Ας υποθέσουμε τώρα πως οι αριθμοί στο διάστημα [0,1] είναι αριθμήσιμοι. Μπορούμε να προχωρήσουμε σε μια διάταξη των αριθμών (πρώτος, δεύτερος, τρίτος,…) σε πλήρη αντιστοιχία με τους ακέραιους (1,2,3,…). Έχουμε λοιπόν, Α1=0.α11α12α13α14α15….., Α2=0.α21α22α23α24…., Α3=0.α31α32α33α34α35…. κ.ο.κ.
Απο τα διαγώνια στοιχεία μπορούμε να κατασκευάσουμε το δεκαδικό κλάσμα D=0.α11α22α33α44α55….. Στη συνέχεια μπορούμε να σχηματίσουμε ένα καινουργιο δεκαδικό Δ αντικαθιστώντας κάθε ψηφίο αnn με τα δn, έτσι: Δ=δ1δ2δ3δ4δ5…. Ο καινούργιος αυτός αριθμός ανήκει στο διάστημα [0,1] και σύμφωνα με την υπόθεση πρέπει να ταυτίζεται με έναν από τους εν διατάξη ευρισκόμενους αριθμούς, έστω τον Αk. Ο Δ όμως διαφέρει εκ κατασκευής απο τον Αk στο ψηφίο αkk.
Καταλήγουμε έτσι σε άτοπο και συμπερένουμε πως και η αρχική υπόθεση είναι λανθασμένη. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι αριθμήσιμο και ο πληθάριθμος τους ,ℵ1, είναι μεγαλύτερος απο το ℵ0. Ο Cantor απέδειξε πως η σχέση που τα συνδέει είναι: ℵ1=2ℵ0. Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να επαναλάβουμε την διαδικασία και να δημιουργήσουμε μια ακολουθία διακριτών aleph.
1,2,3,…..n,n+1,n+2,…….ℵ0,ℵ1,ℵ2,ℵ3…..
Βρισκόμαστε έτσι σε μια ακολουθία-κλίμακα απείρων, χωρίς να γνωρίζουμε αν και πως τελειώνει, χωρίς να γνωρίζουμε αν ανάμεσα σε δύο κλίμακες απείρων εμφιλοχωρούν και κρύβονται άλλα άπειρα. Ο ίδιος ο Cantor σε ένα γράμμα που είχε αποστείλει για τα αποτελέσματα τις δουλειάς του, είπε χαρακτηριστικά. ”Το βλέπω αλλά δεν το πιστεύω.”
